2016年中考数学必做36道压轴题合订本(含变式训练)

2016 中考必做的 36 道压轴题及变式训练 第 1 题 夯实双基“步步高” ,强化条件是“路标” 【例 1】 (2013 ,23,7 分)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y  mx2  2mx  2  m  0 与 y 轴交于点 A,其对称轴与 x 轴交于点 B. (1)求点 A,B 的坐标; (2)设直线 l 与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称,求直线 l 的解析式; (3)若该抛物线在 2  x  1 这一段位于直线 l 的上方,并且在 2  x  3 这一段位于直线 AB 的下方, 求该抛物线的解析式. 链接: (2013 南京,26,9 分)已知二次函数 y=a(xm) a(xm) (a、m 为常数,且 a0). (1)求证:不论 a 与 m 为何值,该函数的图像与 x 轴总有两个公共点; (2)设该函数的图象的顶点为 C,与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 D. ①当△ABC 的面积等于 1 时,求 a 的值; ②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时,求 m 的值. 2

变式: (2012 ,23,7 分)已知二次函数 y   t  1 x  2  t  2  x  2 3 在 x  0 和 x  2 时的函数值相等. 2 (1)求二次函数的解析式; (2)若一次函数 y  kx  6 的图象与二次函数的图象都经过点 A(-3,m) ,求 m 和 k 的值; (3)设二次函数的图象与 x 轴交于点 B,C(点 B 在点 C 的左侧) ,将二次函数的图象在点 B,C 间的部分 (含点 B 和点 C)向左平移 n  n  0 个单位后得到的图象记为 G,同时将(2)中得到的直线 y  kx  6 向 上平移 n 个单位.请结合图象回答:当平移后的直线与图象 G 有公共点时,n 的取值范围. 第 2 题 “弓形问题”再相逢, “殊途同归”快突破 【例题】 (2012 湖南湘潭,26,10 分)如图,抛物线 y  ax  2 3 x  2  a  0  的图象与 x 轴交于 A、B 两点, 2 与 y 轴交于 C 点,已知 B 点坐标为(4,0) . (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC 的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; ] (3)若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点,求△MBC 的面积的最大值,并求出此时 M 点的坐标.

【变式】 (2011 安徽芜湖,24,14 分)平面直角坐标系中, ABOC 如图放置,点 A、C 的坐标分别为(0, 3) 、 (﹣1,0) ,将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90°,得到 A ' B ' OC ' . (1)若抛物线过点 C,A,A',求此抛物线的解析式; (2) ABOC 和 A ' B ' OC ' 重叠部分△ OC'D 的周长; (3)点 M 是第一象限内抛物线上的一动点,问:点 M 在何处时△ AMA'的面积最大?最大面积是多少?并 求出此时 M 的坐标.     第 3 题 “模式识别”记心头,看似“并列”实“递进” 【例题】 (2012 河南,23,11 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 y  1 x  1 与抛物线 y  ax2  bx  3 2 交于 A,B 两点,点 A 在 x 轴上,点 B 的纵坐标为 3.点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点(不与 A,B 重合) ,过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 与点 C,作 PD⊥AB 于点 D. (1)求 a,b 及 sin ACP 的值; (2)设点 P 的横坐标为 m . ①用含 m 的代数式表示线段 PD 的长,并求出线段 PD 长的最大值; ②连接 PB, 线段 PC 把 △PDB 分成两个三角形, 是否存在适合的 m 值, 使这两个三角形的面积之比为 9:10? 若存在,直接写出 m 值;若不存在,说明理由.

【变式一】 (2011 江苏泰州,27,12 分)已知:二次函数 y  x 2  bx  3 的图象经过点 P(﹣2,5) . (1)求 b 的值并写出当 1  x  3 时 y 的取值范围; (2)设 P1 (m, y1 ) 、 P2 (m+1, y2 ) 、 P3 (m+2, y3 )在这个二次函数的图象上. ①当 m=4 时, y1 、 y2 、 y3 能否作为同一个三角形三边的长?请说明理由; ②当 m 取不小于 5 的任意实数时, y1 、 y2 、 y3 一定能作为同一个三角形三边的长,请说明理由. 【变式二】 (2013 重庆,25 题,12 分)如图,已知抛物线 y  x  bx  c 的图象与 x 轴的一个交点为 B(5, 2 0) ,另一个交点为 A,且与 y 轴交于点 C(0,5) . (1)求直线 BC 与抛物线的解析式; (2)若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点,过点 M 作 MN∥y 轴交直线 BC 于点 N,求 MN 的最大 值; (3)在(2)的条件下,MN 取得最大值时,若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点,以 BC 为边作平 行四边形 CBPQ,设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1 ,△ ABN 的面积为 S2 ,且 S1  6S2 ,求点 P 的坐标.

第4题 “准线” “焦点”频现身, “居高临下”明“结构” 1 2 x  x  m 的顶点在直线 y  x  3 上,过点 F(-2,2) 4 【例题】 (2012 四川资阳,25,9 分)抛物线 y  的直线交该抛物线于点 M、N 两点(点 M 在点 N 的左边) ,MA⊥x 轴于点 A,NB⊥x 轴于点 B. (1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含 m 的代数式表示) ,再求 m 的值; (2)设点 N 的横坐标为 a,试用含 a 的代数式表示点 N 的纵坐标,并说明 NF=NB; (3)若射线 NM 交 x 轴于点 P,且 PA× PB= 100 ,求点 M 的坐标. 9 【变式一】 (2010 湖北黄冈, 25, 15 分) 已知抛物线 y  ax  bx  c  a  0 顶点为 C (1, 1) 且过原点 O. 过 2 抛物线上一点 P(x,y)向直线 y  (1)求字母 a,b,c 的值; 5 作垂线,垂足为 M,连 FM(如图) . 4 (2) 在直线 x=1 上有一点 F (1, ) , 求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标, 并证明此时△ PFM 为正三角形; (3)对抛物线上任意一点 P,是否总存在一点 N(1,t) ,使 PM=PN 恒成立?若存在请求出 t 值,若不存 在请说明理由. 3 4

【变式二】 (2012 山东潍坊,24,11 分)如图,已知抛物线与坐标轴分别交于 A(-2,0)、B(2,0)、C(0,- 1)三点,过坐标原点 O 的直线 y  kx 与抛物线交于 M、N 两点.分别过点 C、D(0,-2)作平行于 x 轴的直 线 l1 、 l2 . (1)求抛物线对应二次函数的解析式; (2)求证以 ON 为直径的圆与直线 l1 相切; (3)求线段 MN 的长(用 k 表示),并证明 M、N 两点到直线 l2 的距离之和等于线段 MN 的长. 第 5 题 莫为“浮云”遮望眼, “洞幽察微”探指向 【例题】 (2012 浙江宁波,26,12 分)如图,二次函数 y=ax +bx+c 的图象交 x 轴于 A(﹣1,0) ,B(2, 0) ,交 y 轴于 C(0,﹣2) ,过 A,C 画直线. (1)求二次函数的解析式; (2)点 P 在 x 轴正半轴上,且 PA=PC,求 OP 的长; (3)点 M 在二次函数图象上,以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切,切点为 H. ①若 M 在 y 轴右侧,且△CHM∽△AOC(点 C 与点 A 对应) ,求点 M 的坐标; ②若⊙M 的半径为 2 4 5 ,求点 M 的坐标. 5

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