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2014年全国高考新课标卷I理科数学试题(含答案)word版

2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I(河南、河北、山西) 理科数学 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的一项。

1.已知集合 A={ x | x  2 x  3  0 },B={ x |-2≤ x <2=,则 A  B = 2 A .[-2,-1] 2. B .[-1,2) C .[-1,1] D .[1,2) (1  i )3 = (1  i ) 2 A .1  i B .1  i C . 1  i D . 1  i 3.设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x) 时奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论正确的 是 A . f ( x) g ( x) 是偶函数 C . f ( x) | g ( x) |是奇函数 B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 D .| f ( x) g ( x) |是奇函数 4.已知 F 是双曲线 C : x2  my 2  3m(m  0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 A. 3 B .3 C . 3m D . 3m 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率 A. 1 8 B. 3 8 C. 5 8 D. 7 8 6.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边 为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距 离表示为 x 的函数 f ( x) ,则 y = f ( x) 在[0,  ]上的图像大致为 7.执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M = 第 1 页 共 8 页

A. 20 3 B. 16 5 C. 7 2 D. 15 8 8.设   (0,  1  sin   ) ,   (0, ) ,且 tan   ,则 2 2 cos  A . 3    9.不等式组   2 B . 2     2 C . 3     2 D . 2     2 x  y  1 的解集记为 D .有下面四个命题: x  2 y  4 p2 : ( x, y)  D, x  2 y  2 , p4 : ( x, y)  D, x  2 y  1. p1 : ( x, y)  D, x  2 y  2 , P 3 : ( x, y )  D, x  2 y  3 , 其中真命题是 A . p2 , p3 B . p1 , p4 C . p1 , p2 D . p1 , p3 10.已知抛物线 C : y 2  8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个 焦点,若 FP  4FQ ,则 | QF | = A. 7 2 3 B. 2 5 2 C .3 D .2 11.已知函数 f ( x) = ax  3x  1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围为 A .(2,+∞) B .(-∞,-2) C .(1,+∞) D .(-∞,-1) 12.如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗实线画出的是某多面体的三 视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为 A.6 2 B .4 2 C .6 D .4 共90分) 第Ⅱ卷(非选择题 本卷包括必考题和选考题两个部分。

第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作 答。

第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。

二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。

13. ( x  y)( x  y) 的展开式中 x y 的系数为 8 2 2 .(用数字填写答案) 第 2 页 共 8 页

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 乙说:我没去过 C 城市; . . 由此可判断乙去过的城市为 15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO  1 ( AB  AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 2 16.已知 a, b, c 分别为 ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, 且 (2  b)(sin A  sin B)  (c  b)sin C , a =2, 则 ABC 面积的最大值为 . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,a1 =1,an  0 ,an an1   Sn 1, 其中  为常数. (I)证明: an 2  an   ; (Ⅱ)是否存在  ,使得{ an }为等差数列?并说明理由. 18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由 测量结果得如下频率分布直方图: (I)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的中点值 作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N ( ,  ) ,其中  2 2 近似为样本平均数 x ,  近似为样本方差 s . 2 2 (i)利用该正态分布,求 P(187.8  Z  212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,学 科网记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区 间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果, 求 EX . 2 附: 150 ≈12.2.若 Z ~ N ( ,  ) ,则 P(     Z     ) =0.6826, P(  2  Z    2 ) =0.9544. 19. (本小题满分 12 分)如图三棱锥 ABC  A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形, AB  B1C . 第 3 页 共 8 页

(I)证明: AC  AB1 ; (Ⅱ)若 AC  AB1 , CBB1  60o ,AB=Bc,求二面角 A  A 1B 1  C1 的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) 已知点 A(0, -2) , 椭圆 E : x2 y 2 3  2  1(a  b  0) 的离心率为 ,F 2 a b 2 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为 (I)求 E 的方程; 2 3 , O 为坐标原点. 3 (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x0  ae ln x  x be x 1 ,曲线 y  f ( x) 在点(1, f (1) )处的切 x 线为 y  e( x  1)  2 . (I)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x)  1 . 请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。

注意:只能做所选定的题目。

如果 多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡所选题号后的 方框涂黑。

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE (Ⅰ)证明:∠D=∠E;学科网 (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 x  2  t x2 y 2   1 ,直线 l :  已知曲线 C : ( t 为参数). 4 9  y  2  2t (I)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A , 求 | PA | 的最大值与最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a  0, b  0 ,且 3 3 o 1 1   ab . a b (I) 求 a  b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a  3b  6 ?并说明理由. 第 4 页 共 8 页

2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I 答案 1—5ADCAD 6—12 CDCBBCB 13.-20 14.A 15.90°16. 2 17. 【解析】 :(Ⅰ)由题设 an an 1   S n  1 , an 1an  2   S n 1  1 ,两式相减 an 1  an  2  an    an 1 ,由于 an  0 ,所以 an  2  an   …………6 分 (Ⅱ)由题设 a1 =1, a1a2   S1  1 ,可得 a2  1  1 ,由(Ⅰ)知 a3    1 假设{ an }为等差数列,则 a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ a1  a3  2a2 ,解得   4 ; 证明   4 时,{ an }为等差数列:由 an  2  an  4 知 数列奇数项构成的数列 a2 m 1 是首项为 1,公差为 4 的等差数列 a2 m 1  4m  3 令 n  2m  1, 则 m  n 1 ,∴ an  2n  1 (n  2m  1) 2 数列偶数项构成的数列 a2 m  是首项为 3,公差为 4 的等差数列 a2 m  4m  1 令 n  2m, 则 m  n ,∴ an  2n  1 (n  2m) 2 ∴ an  2n  1 ( n  N * ) , an 1  an  2 因此,存在存在   4 ,使得{ an }为等差数列. ………12 分 18. 【解析】 :(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 2 分别为 x  170  0.02  180  0.09  190  0.22  200  0.33  210  0.24  220  0.08  230  0.02  200 s 2   30   0.02   20   0.09   10   0.22  0  0.33 2 2 2  10   0.24   20   0.08   30   0.02 2 2 2  150 (Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)知 Z ~ N (200,150) ,从而 …………6 分 P(187.8  Z  212.2)  P(200  12.2  Z  200  12.2)  0.6826 ………………9 分 (ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826 第 5 页 共 8 页

依题意知 X B(100, 0.6826) ,所以 EX  100  0.6826  68.26 ………12 分 19. 【解析】 : (Ⅰ)连结 BC1 , 交 B1C 于 O, 连结 AO. 因为侧面 BB1C1C 为菱形, 所以 B1C  BC1 , 且 O 为 B1C 与 BC1 的中点.又 AB  B1C ,所以 B1C  平面 ABO ,故 B1C  AO 又 B1O  CO ,故 AC  AB1 (Ⅱ)因为 AC  AB1 且 O 为 B1C 的中点,所以 ………6 分 又因为 ,所以 BOA  BOC 故 OA⊥ ,从而 OA,OB, OB1 两两互相垂直. 以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正方向,OB 为单位长, 建立如图所示空间直角坐标系 O- xyz . 因为 CBB1  600 , 所以 CBB1 为等边三角形.又 ,则    3 3  3  , B 1, 0, 0  , B1  0, , C  0,  A 0, 0, , 0 ,0     3   3  3           3 3 3 3  , A1 B1  AB   1, 0,  AB1   0, ,  , B C  BC   1,  ,0    1 1  3      3 3 3       设 n   x, y , z  是平面的法向量,则  n   n  3 3 y z0  AB1  0  3 3 ,即  A1 B1  0 x  3 z  0  3  所以可取 n  1, 3, 3    设 m 是平面的法向量,则  m A1 B1  0   n B1C1  0 ,同理可取 m  1,  3, 3  则 cos n, m  nm n m  1 1 ,所以二面角 A  A1 B1  C1 的余弦值为 . 7 7 2 2 3 ,得 c  3  c 3 又 20. 【解析】(Ⅰ) 设 F  c, 0  ,由条件知 c 3 ,  a 2 第 6 页 共 8 页

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