2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I（河南、河北、山西） 理科数学 第Ⅰ卷 （选择题 共 60 分） 一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的一项。
1.已知集合 A={ x | x 2 x 3 0 }，B={ x |－2≤ x ＜2＝，则 A B = 2 A .[-2,-1] 2. B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） (1 i )3 = (1 i ) 2 A .1 i B .1 i C . 1 i D . 1 i 3.设函数 f ( x ) ， g ( x) 的定义域都为 R，且 f ( x) 时奇函数， g ( x) 是偶函数，则下列结论正确的 是 A . f ( x) g ( x) 是偶函数 C . f ( x) | g ( x) |是奇函数 B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 D .| f ( x) g ( x) |是奇函数 4.已知 F 是双曲线 C ： x2 my 2 3m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 A. 3 B .3 C . 3m D . 3m 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率 A. 1 8 B. 3 8 C. 5 8 D. 7 8 6.如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边 为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距 离表示为 x 的函数 f ( x) ，则 y = f ( x) 在[0, ]上的图像大致为 7.执行下图的程序框图，若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3，则输出的 M = 第 1 页 共 8 页
A. 20 3 B. 16 5 C. 7 2 D. 15 8 8.设 (0, 1 sin ) ， (0, ) ，且 tan ，则 2 2 cos A . 3 9.不等式组 2 B . 2 2 C . 3 2 D . 2 2 x y 1 的解集记为 D .有下面四个命题： x 2 y 4 p2 ： ( x, y) D, x 2 y 2 , p4 ： ( x, y) D, x 2 y 1. p1 ： ( x, y) D, x 2 y 2 ， P 3 ： ( x, y ) D, x 2 y 3 ， 其中真命题是 A . p2 ， p3 B . p1 ， p4 C . p1 ， p2 D . p1 ， p3 10.已知抛物线 C ： y 2 8x 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个 焦点，若 FP 4FQ ，则 | QF | = A. 7 2 3 B. 2 5 2 C .3 D .2 11.已知函数 f ( x) = ax 3x 1 ，若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ，且 x0 ＞0，则 a 的取值范围为 A .（2，+∞） B .（-∞，-2） C .（1，+∞） D .（-∞，-1） 12.如图， 网格纸上小正方形的边长为 1， 粗实线画出的是某多面体的三 视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 A.6 2 B .4 2 C .6 D .4 共90分） 第Ⅱ卷（非选择题 本卷包括必考题和选考题两个部分。
第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作 答。
第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13. ( x y)( x y) 的展开式中 x y 的系数为 8 2 2 .(用数字填写答案) 第 2 页 共 8 页
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 乙说：我没去过 C 城市； . . 由此可判断乙去过的城市为 15.已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若 AO 1 ( AB AC ) ，则 AB 与 AC 的夹角为 2 16.已知 a, b, c 分别为 ABC 的三个内角 A, B, C 的对边， 且 (2 b)(sin A sin B) (c b)sin C ， a =2， 则 ABC 面积的最大值为 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，a1 =1，an 0 ，an an1 Sn 1， 其中 为常数. （I）证明： an 2 an ； （Ⅱ）是否存在 ，使得{ an }为等差数列？并说明理由. 18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由 测量结果得如下频率分布直方图： （I）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s （同一组数据用该区间的中点值 作代表） ； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N ( , ) ，其中 2 2 近似为样本平均数 x ， 近似为样本方差 s . 2 2 （i）利用该正态分布，求 P(187.8 Z 212.2) ； （ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，学 科网记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区 间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果， 求 EX . 2 附： 150 ≈12.2.若 Z ～ N ( , ) ，则 P( Z ) =0.6826， P( 2 Z 2 ) =0.9544. 19. (本小题满分 12 分)如图三棱锥 ABC A1B1C1 中， 侧面 BB1C1C 为菱形， AB B1C . 第 3 页 共 8 页
（I）证明： AC AB1 ； （Ⅱ）若 AC AB1 ， CBB1 60o ，AB=Bc，求二面角 A A 1B 1 C1 的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) 已知点 A（0， -2） ， 椭圆 E ： x2 y 2 3 2 1(a b 0) 的离心率为 ，F 2 a b 2 是椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为 （I）求 E 的方程； 2 3 ， O 为坐标原点. 3 （Ⅱ）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点，当 OPQ 的面积最大时，求 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x0 ae ln x x be x 1 ，曲线 y f ( x) 在点（1， f (1) ）处的切 x 线为 y e( x 1) 2 . （I）求 a , b ； （Ⅱ）证明： f ( x) 1 . 请考生从第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果 多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡所选题号后的 方框涂黑。
22.（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲 如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE (Ⅰ)证明：∠D=∠E；学科网 （Ⅱ）设 AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明：△ADE 为等边三角形. 23. （本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 x 2 t x2 y 2 1 ，直线 l ： 已知曲线 C ： （ t 为参数）. 4 9 y 2 2t （I）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； （Ⅱ）过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线，交 l 于点 A ， 求 | PA | 的最大值与最小值. 24. （本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 若 a 0, b 0 ，且 3 3 o 1 1 ab . a b （I） 求 a b 的最小值； （Ⅱ）是否存在 a , b ，使得 2a 3b 6 ？并说明理由. 第 4 页 共 8 页
2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I 答案 1—5ADCAD 6—12 CDCBBCB 13．－20 14．A 15．90°16． 2 17． 【解析】 ：(Ⅰ)由题设 an an 1 S n 1 ， an 1an 2 S n 1 1 ，两式相减 an 1 an 2 an an 1 ，由于 an 0 ，所以 an 2 an …………6 分 （Ⅱ）由题设 a1 =1， a1a2 S1 1 ，可得 a2 1 1 ，由(Ⅰ)知 a3 1 假设{ an }为等差数列，则 a1 , a2 , a3 成等差数列，∴ a1 a3 2a2 ，解得 4 ； 证明 4 时，{ an }为等差数列：由 an 2 an 4 知 数列奇数项构成的数列 a2 m 1 是首项为 1，公差为 4 的等差数列 a2 m 1 4m 3 令 n 2m 1, 则 m n 1 ，∴ an 2n 1 (n 2m 1) 2 数列偶数项构成的数列 a2 m 是首项为 3，公差为 4 的等差数列 a2 m 4m 1 令 n 2m, 则 m n ，∴ an 2n 1 (n 2m) 2 ∴ an 2n 1 （ n N * ） ， an 1 an 2 因此，存在存在 4 ，使得{ an }为等差数列. ………12 分 18． 【解析】 ：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 2 分别为 x 170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33 210 0.24 220 0.08 230 0.02 200 s 2 30 0.02 20 0.09 10 0.22 0 0.33 2 2 2 10 0.24 20 0.08 30 0.02 2 2 2 150 （Ⅱ） （ⅰ）由(Ⅰ)知 Z ～ N (200,150) ，从而 …………6 分 P(187.8 Z 212.2) P(200 12.2 Z 200 12.2) 0.6826 ………………9 分 （ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为 0.6826 第 5 页 共 8 页
依题意知 X B(100, 0.6826) ，所以 EX 100 0.6826 68.26 ………12 分 19． 【解析】 ： (Ⅰ)连结 BC1 ， 交 B1C 于 O， 连结 AO． 因为侧面 BB1C1C 为菱形， 所以 B1C BC1 ， 且 O 为 B1C 与 BC1 的中点．又 AB B1C ，所以 B1C 平面 ABO ，故 B1C AO 又 B1O CO ，故 AC AB1 （Ⅱ）因为 AC AB1 且 O 为 B1C 的中点，所以 ………6 分 又因为 ，所以 BOA BOC 故 OA⊥ ，从而 OA，OB， OB1 两两互相垂直． 以 O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向，OB 为单位长， 建立如图所示空间直角坐标系 O- xyz ． 因为 CBB1 600 ， 所以 CBB1 为等边三角形．又 ，则 3 3 3 ， B 1, 0, 0 ， B1 0, ， C 0, A 0, 0, , 0 ,0 3 3 3 3 3 3 3 ， A1 B1 AB 1, 0, AB1 0, , , B C BC 1, ,0 1 1 3 3 3 3 设 n x, y , z 是平面的法向量，则 n n 3 3 y z0 AB1 0 3 3 ，即 A1 B1 0 x 3 z 0 3 所以可取 n 1, 3, 3 设 m 是平面的法向量，则 m A1 B1 0 n B1C1 0 ，同理可取 m 1, 3, 3 则 cos n, m nm n m 1 1 ，所以二面角 A A1 B1 C1 的余弦值为 . 7 7 2 2 3 ，得 c 3 c 3 又 20． 【解析】(Ⅰ) 设 F c, 0 ，由条件知 c 3 ， a 2 第 6 页 共 8 页
